پارادکس در ریاضیات
ارسال شده: یکشنبه ۲۶ آذر ۱۳۸۵, ۱۱:۰۴ ب.ظ
پارادکس در لغت به معنی اشتباه می باشد . پارادکس در ریاضی به اشتباهات واضحی که به چشم نمی آیند گویند ، در زیر نمونه هایی از پارادکس را مشاهـده می کنید ! پاراکس را سـفـسـطه ، متناقـض نما ، پارادوکس و ... نیز می گویند .
سـفسـطه در جبر :
1 ) می خواهـیم اثبات کنیم 2 = 1 .
برای این کار دو عدد متوالی آ و ب را در نظر می گیریم و به صورت زیر عمل می کنیم .
1- فرض می کنیم x = y .
2- طرفین را در x ضرب می کنیم . xy = x2
3- از طرفین y به توان ۲ را کم می کنیم . xy - y2 = x2 - y2
4- آن را تجزیه می کنیم : y(x-y)=(x+y)(x-y) .
5- طرفین را به x-y تقسیم می کنیم : y = x + y .
6- طبق رابطه 1 داریم : y = 2y .
7- طرفین را به y تقسیم می کنیم : 2 = 1 .
2 ) نمونه ای دیگر :
معادله را در نظر می گیریمX - 1 = 2 .
دو طرف تساوی را در X - 5 ضرب می کنیم .
X2 – 6X + 5 = 2X – 10
عـبارت X – 7 را از دو طف تساوی کم می کنیم .
X2 – 7X + 12 = X – 3
دو طرف را بر X – 3 تقـسیم می کنیم .
X – 4 = 1
یعـنی X = 5 که نادرستی آن واضع است .
3 ) حالا نشان می دهیم بعضی قوانین ریاضی غـلط است .
از همان معـادله X – 1 = 2 شـروع می کنیم .
فـقـط به طرف چپ تساوی عدد 10 را می افزاییم . آن گاه داریم :
X + 9 = 2
دو طرف تساوی را در X – 3 ضرب می کنیم .
X2 + 6X – 27 = 2X – 6
از دو طف تساوی 2X – 6 را کم می کنیم .
X2 + 4X – 21 = 0
دو طرف را بر X + 7 تقـسیم می کنیم که از آن X – 3 = 0 یا X = 3 که همان جواب معادله X – 1 = 2 اسـت .
پارادوكس شيپور گابريل :
در اين مقاله اين تناقض و جود دارد كه : يك بار ثابت مي شود ،تمام رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن يك سطح كافي نيست و از طرف ديگر ثابت مي شود با مختصر رنگي ، مي توان همان سطح را رنگ كرد .طرح اين مسئله بصورت زير است :
را در نظر مي گيريم Y=1/x (x>0) تابع حقيقي به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور هاي مختصات رسم مي كنيم .
مي خواهيم ثابت كنيم سطح زير منحني به معادله
Y= 1/x x>=1
را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .Xو محور را با پي واحد مكعب رنگ مي توان كرد .(كه در اين صورت سطح جانبي حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهي حاصل از دوران اين سطح حول محور
خواهد بود )
3 .سطح جانبي اين جسم حاصل از دوران اين سطح را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .
( حل 1 ) در حقيقت سؤال اينست که آيا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟
حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازيم .
= lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }
نامتناهي است و نمي توان آن را با تمام رنگ هاي دنيا رنگ كرد .A پس مقدار
ها محاسبه مي كنيم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهي
Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b = { } { } { } { }
واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس مي توان آنرا با
باشد نمي توان رنگ كرد .A در اين صورت سطح جانبي جسم هم رنگي خواهد شد. در حالي كه نصف مقطع عرضي آنرا كه همان سطح نامتناهي
(بنا به حل 1)
در رياضي اين جسم به شيپور گابريل معروف است .
(حل 3) سطح جانبي جسم نامتناهي را محاسبه ميكنيم.
S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (ds = { } { } { }
S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }
محاسبه انتگرال اخير مشكل است ، ولي توجه داشته باشيم كه :
s>+{ } { } { } پس مي توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }
پس سطح جانبي جسم ، نامتناهي است و همه ي رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن آن كافي نيست ، در حاليكه در حل 2 نتيجه گرفتيم كه سطح جانبي به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگي خواهد شد.
سـفسـطه در جبر :
1 ) می خواهـیم اثبات کنیم 2 = 1 .
برای این کار دو عدد متوالی آ و ب را در نظر می گیریم و به صورت زیر عمل می کنیم .
1- فرض می کنیم x = y .
2- طرفین را در x ضرب می کنیم . xy = x2
3- از طرفین y به توان ۲ را کم می کنیم . xy - y2 = x2 - y2
4- آن را تجزیه می کنیم : y(x-y)=(x+y)(x-y) .
5- طرفین را به x-y تقسیم می کنیم : y = x + y .
6- طبق رابطه 1 داریم : y = 2y .
7- طرفین را به y تقسیم می کنیم : 2 = 1 .
2 ) نمونه ای دیگر :
معادله را در نظر می گیریمX - 1 = 2 .
دو طرف تساوی را در X - 5 ضرب می کنیم .
X2 – 6X + 5 = 2X – 10
عـبارت X – 7 را از دو طف تساوی کم می کنیم .
X2 – 7X + 12 = X – 3
دو طرف را بر X – 3 تقـسیم می کنیم .
X – 4 = 1
یعـنی X = 5 که نادرستی آن واضع است .
3 ) حالا نشان می دهیم بعضی قوانین ریاضی غـلط است .
از همان معـادله X – 1 = 2 شـروع می کنیم .
فـقـط به طرف چپ تساوی عدد 10 را می افزاییم . آن گاه داریم :
X + 9 = 2
دو طرف تساوی را در X – 3 ضرب می کنیم .
X2 + 6X – 27 = 2X – 6
از دو طف تساوی 2X – 6 را کم می کنیم .
X2 + 4X – 21 = 0
دو طرف را بر X + 7 تقـسیم می کنیم که از آن X – 3 = 0 یا X = 3 که همان جواب معادله X – 1 = 2 اسـت .
پارادوكس شيپور گابريل :
در اين مقاله اين تناقض و جود دارد كه : يك بار ثابت مي شود ،تمام رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن يك سطح كافي نيست و از طرف ديگر ثابت مي شود با مختصر رنگي ، مي توان همان سطح را رنگ كرد .طرح اين مسئله بصورت زير است :
را در نظر مي گيريم Y=1/x (x>0) تابع حقيقي به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور هاي مختصات رسم مي كنيم .
مي خواهيم ثابت كنيم سطح زير منحني به معادله
Y= 1/x x>=1
را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .Xو محور را با پي واحد مكعب رنگ مي توان كرد .(كه در اين صورت سطح جانبي حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهي حاصل از دوران اين سطح حول محور
خواهد بود )
3 .سطح جانبي اين جسم حاصل از دوران اين سطح را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .
( حل 1 ) در حقيقت سؤال اينست که آيا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟
حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازيم .
= lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }
نامتناهي است و نمي توان آن را با تمام رنگ هاي دنيا رنگ كرد .A پس مقدار
ها محاسبه مي كنيم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهي
Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b = { } { } { } { }
واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس مي توان آنرا با
باشد نمي توان رنگ كرد .A در اين صورت سطح جانبي جسم هم رنگي خواهد شد. در حالي كه نصف مقطع عرضي آنرا كه همان سطح نامتناهي
(بنا به حل 1)
در رياضي اين جسم به شيپور گابريل معروف است .
(حل 3) سطح جانبي جسم نامتناهي را محاسبه ميكنيم.
S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (ds = { } { } { }
S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }
محاسبه انتگرال اخير مشكل است ، ولي توجه داشته باشيم كه :
s>+{ } { } { } پس مي توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }
پس سطح جانبي جسم ، نامتناهي است و همه ي رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن آن كافي نيست ، در حاليكه در حل 2 نتيجه گرفتيم كه سطح جانبي به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگي خواهد شد.
