اعداد قدرتمند
ارسال شده: پنجشنبه ۳۰ مهر ۱۳۸۸, ۱۱:۰۱ ق.ظ
عدد طبیعی مثبت n قدرتمند است اگر به ازای هر عدد اول p که بر n بخش پذیراست، عدد p2 نیز بر n بخشپذیر باشد. میتوان نشان داد هر عدد قدرتمند مانند m را میتوان بصورت a2b3 نوشت که a, b هر دو اعدادی طبیعی هستند. ( در این تعریف اشکالی وجود دارد و آن این که عدد اول بر هیچ عددی بجز 1 و خودش بخشپذیر نیست چه برسد به n )
در زیر لیستی از اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰۰ را میبینیم:
۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲, و ۱۰۰۰.
همچنین جفتهای متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:
(۸٬۹), (۲۸۸٬۲۸۹), (۶۷۵٬۶۷۶), (۹۸۰۰٬۹۸۰۱), (۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸), (۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵), (۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹) و (۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵).
اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیرا نشان داده شدهاست که ۳ حکم زیر معادلند (قضیه مولین و والاش):
سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت p2 − q = 1 وجود دارند.
عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که
و 
و k عدد طبیعی فردی است که Tk kامین عدد زوج قدرتمند است و Uk kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.
گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت (4k-1,4k+1) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید بصورت (4k-1,4k.4k+1) باشند.
گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بینهایت عدد اول p وجود دارد که p2 مضربی از 2p − 2 نباشد.
در زیر لیستی از اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰۰ را میبینیم:
۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲, و ۱۰۰۰.
همچنین جفتهای متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:
(۸٬۹), (۲۸۸٬۲۸۹), (۶۷۵٬۶۷۶), (۹۸۰۰٬۹۸۰۱), (۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸), (۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵), (۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹) و (۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵).
اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیرا نشان داده شدهاست که ۳ حکم زیر معادلند (قضیه مولین و والاش):
سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت p2 − q = 1 وجود دارند.
عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که
و و k عدد طبیعی فردی است که Tk kامین عدد زوج قدرتمند است و Uk kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت (4k-1,4k+1) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید بصورت (4k-1,4k.4k+1) باشند.
گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بینهایت عدد اول p وجود دارد که p2 مضربی از 2p − 2 نباشد.