یک سوال به ظاهر ساده ریاضی

[aminsangari]

با سلام و عرض خسته نباشید.

یک سوالی دارم که حدود 5 سال است که هیچ کدام از معلمینم نتوانستند به آن پاسخ دهند و آن قضیه معروف مشتق پذیری است.
همه ما این قضیه را قبول داریم: اگر تابعی مشتق پذیر باشد آنگاه پیوسته است.

ولی موقعی که میخواهیم مشتق پذیری تابع را بررسی کنیم ابتدا پیوستگی آن را بررسی می کنیم. یعنی مثل این است که قضیه را دو شرطی می کنیم یا ممکن است اصلا قضیه به یک جمله بدیهی تبدیل شود. من احساس می کنم با این کاری که ما میکنیم بیان این قضیه مثل این است که بگوییم اگر عددی به 4 بخشپذیر باشد آنگاه به 2 هم بخشپذیر است.

سوال من این است که لطفا مرا متقاعد کنید که احساس من کاملا غلط است و خواهشا دلیل منطقی برای رد توضیح بالا برایم بگویید

با تشکر

[nodet]

با سلام...
ما میدانیم اگر تابعی مشتق پذیر باشد حتما پیوسته است اما اگر تابعی پیوسته باشد صرفا اینکه بگوییم مشتق نیز دارد درست نیست مثل تابع قدر مطلق x...
چون تابعی مشتق پذیر است که خط مماس بر تابع در دو جهت(مشتق های چپ و راست) در یک امتداد(برابر) باشند...
اما اینکه شما بیایید با قضیه عاد کردن بررسی کنید جای بسی سوال است که چرا اون مثال را میزنید؟؟؟؟اصلا نمیتونیم این دو قضیه را مقایسه کنیم...
ما اگر به یک مثال تناقض برسیم دیگر قضیه دو شرطی نمیشود...
لطفا اگر مفهوم نبود دوباره سوال کنید شاید تونستم جواب بدم...

[sokuteasemuni]

تا تابعي پيوسته نباشد ، امكان مشتق داشتن ندارد ، پس بايستي ابتدائا پيوستگي بررسي گردد.
يعني بدون وجود پيوستگي ،اساسا مشتقي هم وجود نخواهد داشت.

[shola]

با سلام به نظرام اینکه معلمین شما قادر به جواب گویی به شما نبودند دلیل کم سوادی انها نبوده شاید قضیه چیز دیگری بوده مثلا باعث گیج شدن شما میشده یا در سطح دبیرستان نمی گنجیده و یا اثباتش برای شما ثقیل بوده علت اینکه برای مشتق پزیر بودن پیوستگی رو چک می کنیم اینه که اگر تابع f بربازه [a,b] مشتق پزیر باشدانگاه 'f نمی تواند بر [a,b] نایوستگی رفع شدنی داشته باشدولی ممکن است ناپیوستگی رفع نشدنی داشته باشد حال برای مشتق پزیری به جای محاسبه مشتق پزیری روی یک بازه از عکس نقیض مطلب بال بهره می برند( ولی عکس قضیه بالا درست نیست کافی است یک تابع ساخت که در یکی از نقاط تنهای اش پیوسته نباشد ولی مشتق پزیر باشد)

[misam5526]

جواب درست همونه که nodet اشاره کرد !
یه مثال قدیمی و کارآمد!! با تعریفهای پیچیده خودتون رو خیلی سردر گم نکنین! تجسم بهترین کمک رو در این موارد میکنه!