توپولوژی

[misam5526]

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی می‌پردازد. توپولوژی یکی از شاخه‌های نسبتاً جوان ریاضیات است.
نام این رشته از واژه‌های یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معناي شناخت گرفته شده است. بنابراين، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.

فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهاد نکرده است و همان توپولوژی را در نظر گرفته است.



تاریخچه‌

این مبحث نخستین‌بار توسط هانری پوانکاره (۱۹۱۲-۱۸۵۴) و در مقاله‌ای با نام «آنالیز مکان» به‌صورت مجموعه‌ای از روش‌ها و مسایل، دسته‌بندی شد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی بازی کرد.

در صحبت از توپولوژی معمولا اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. اما برخی با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را تعریف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و دونات نمی‌بیند!


در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹-۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعهٔ توپولوژی تبدیل شد:

"من معتقدم ما به یک آنالیز دیگری هم نیاز داریم که کاملاً هندسی یا خطی باشد، به‌گونه‌ای که با مکان مستقیماً همان رفتاری را داشته باشد که جبر با مفهوم بزرگی دارد."

لایب‌نیتس رویای حساب دیفرانسیل و انتگرال اشکالی را در سر می‌پروراند که در آن فرد می‌تواند به‌سادگی اعداد و اشکال را با هم ترکیب کند، مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آنها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متغن هندسی دست پیدا کند. این دانش مکان، همان است که پوانکاره آن را "آنالیز مکان" نامید. ما نمی‌دانیم که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما این لئونارد اویلر (۱۷۰۱-۱۷۸۳) بود که نخستین مشارکت‌ها را در این شاخهٔ جوان--که وی آن را هندسهٔ مکان می‌نامید-- از خود ارائه داد. راه‌حل او برای مسئلهٔ پل‌های کنیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی V − E + F = 2 (كه در آن V تعداد رأس، E تعداد يال و F تعداد وجوه چندوجهي است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی-- و نه بزرگی ‌آنها-- بستگی داشتند.

در سدهٔ نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسهٔ مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعهٔ توابع مختلط بهره گرفت.



در طی سدهٔ نوزدهم، آنالیز به‌عنوان دانشی ژرف و ظریف پیشرفت پیدا کرد. با آغاز از کارهای ژرژ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سدهٔ بیستم، و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹-۱۹۴۲) ایدهٔ کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد.

مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشهٔ پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه‌ که مجهز به مفهومی از "نزدیک بودن" باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) که البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. در این دیدگاه، توپولوژی به‌صورت هندسهٔ صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف می‌شود.



مفاهیم

توپولوژی یک از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسی و تئوری مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال 1847 به توسط لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در اغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می‌شد، آنالیز وضع بود. لغت توپولوژی هم به معنای زمینه‌ای در ریاضیات است و هم برای خانواده‌ای از مجموعه‌ها که دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک، که شی بنیادین توپولوژی است، استفاده می‌شود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی ترین و قدیمی ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌است که بنیاد‌های توپولوژی بر آن بنا شده‌است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و اتصال می‌پردازد. از دیگر زیرشاخه‌ها توپولوژی جبری است که سعی در محاسبه درجه اتصال دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد کم نیز وجود دارد.

توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی می¬باشد که می‌تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است(یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می‌باشد.

توپولوژی با منحنی‌ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می¬توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضا‌های مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می‌باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا‌های توپولوژیکی تعریف می‌شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است.

حدود سال 1900، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینهٔ سوالاتی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله 7 پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با 2 است.(v - e + f =2)

فرمول اویلر در سال 1752 منتشر شد ولی 63 سال بعد در سال 1813 ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = 2g، که g تعداد سوراخ‌ها است.

52 سال بعد از لیولیر، در سال 1865، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را 180درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. 17 سال بعد در سال 1882 ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن 19 مطرح شد.

مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می‌نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل(f(x مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که[f[BX زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده‌است. و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته‌است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه¬یf[BY] − 1 زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.

[misam5526]

در توپولوژی و شاخه‌های مرتبط ریاضیات، یک فضای هم‌بند یک فضای توپولوژیکی است که نمی‌توان آن را به‌شکل اجتماع جدا از هم دو یا بیش از دو زیرمجموعه باز نمایش داد. هم‌بندی یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های توپولوژیکی است که برای تمیز دادن فضاهای توپولوژیکی به‌کار می‌رود. مفهوم توانمندتری نیز به‌نام فضای هم‌بند راهی وجود دارد و آن عبارت است از فضایی که در آن بتوان هر دو نقطه را بتوان با یک راه به هم پیوند داد.
زیرمجموعه‌ای از فضای توپولوژیکی X را یک مجموعه هم‌بند می‌نامند اگر به‌عنوان زیرفضایی از X، فضایی هم‌بند باشد.

می‌توان به‌سادگی شکل‌هایی ناهم‌بند تجسم کرد. یک مثال ساده عبارت است از فضای تشکیل شده از دو مستطیل که هریک از آنها فضایی است که با دیگری پیوند ندارد. این فضا هم‌بند نیست؛ چرا که این دو مستطیل از هم جدا هستند. مثال خوب دیگری نیز وجود دارد و آن صفحه‌ای است که یک بخش با شکل حلقه‌ای از آن حذف شده باشد. این فضا نیز هم‌بند نیست؛ زیرا نمی‌توان یک نقطه از درون حلقه را به نقطه‌ای در بیرون حلقه پیوند داد و در اینجا علت برگزیدن واژة "هم‌بندی" دیده می‌شود.




تعریف سوری

فضای توپولوژیکی X ناهم‌بند نامیده می‌شود اگر بتوان آن را به‌صورت اجتماع جدا از هم مجموعه‌های باز نوشت. در غیر این‌صورت، گفته می‌شود X هم‌بند است. گفته می‌شود زیرمجموعه‌ای از یک فضای توپولوژیکی هم‌بند است اگر تحت توپولوژی زیرفضایی هم‌بند باشد. برخی از نویسندگان مشخصاً مجموعه تهی را از این تعریف حذف می‌کنند؛ چرا که با توپولوژی یکتای خود می‌تواند فضایی هم‌بند باشد، ولی این دانش‌نامه از این راه پیروی نمی‌کند.

برای فضای توپولوژیکی X، شرایط زیر معادل هستند: 1. X هم‌بند است. 2. X را نمی‌توان به دو مجموعه بسته جدا از هم ناتهی بخش کرد. 3. تنها زیرمجموعه‌های X که هم باز هستند و هم بسته (مجموعه‌های بازسته)، X و مجموعه تهی هستند. 4. تنها زیرمجموعه‌های X که مرز تهی دارند، X و مجموعه تهی هستند. 5. X را نمی‌توان به‌صورت اجتماع دو مجموعه جدا شده ناتهی نوشت. 6. تنها نگاشت‌های پیوسته از X به {0, 1}، نگاشت ثابت است.

زیرمجموعه‌های ماکسیمال هم‌بند هر فضای توپولوژیکی، سازه‌های هم‌بند آن فضا نامیده می‌شوند. این سازه‌ها فضای مفروض را افراز می‌کنند (یعنی، ناتهی و جدا از هم هستند و اجتماع آنها نیز کل فضا را تشکیل می‌دهد). هر سازه زیرمجموعه‌ بسته‌ای از فضای اصلی است. به‌طور کلی، این سازه‌ها لازم نیست باز باشند: برای نمونه، سازه‌های اعداد گویا مجموعه‌های تک‌نقطه‌ای هستند. فضایی که در آن همهٔ سازه‌ها مجموعه‌های تک‌نقطه‌ای باشند، یک‌سره ناهم‌بند نامیده می‌شود. فضای X یک‌سره جداشده نامیده می‌شود اگر برای هر دو عنصر x و y از X، همسایگی‌های باز جدا از هم U برای x و V برای y وجود داشته باشند به‌گونه‌ای که X برابر باشد با اجتماع U و V. آشکار است که هر فضای یک‌سره جداشده، یک‌سره ناهم‌بند نیز هست؛ اما وارون آن درست نیست. برای نمونه، دو کپی از مجموعه اعداد گویا Q را درنظر بگیرید و در هر نقطه به‌جز صفر، آنها را بازشناسید. فضای حاصل، با توپولوژی خارج‌قسمتی، یک‌سره ناهم‌بند است. ولی با درنظر گرفتن دو کپی از صفر، دیده می‌شود که این فضا یک‌سره جداشده نیست. در حقیقت این فضا حتی هاوسدورف هم نیست و شرط یک‌سره جداشدگی اکیداً قوی‌تر از شرط هاوسدورف بودن است.

[shola]

با تشکر ولی بهتر بود در تپیکی به همین نام که قبلا ایجاد شده بود اقدام می کردید

توپولوژی