مروری بر توپولوژی جبری

[misam5526]

در این تاپیک قصد دارم مباحثی که مربوط به توپولوژی جبری هست رو ارئه بدم.
متاسفانه منابع نت برای این عنوان خیلی کم و میشه گفت وجود نداره. در حالی که این شاخه ریاضی کاربرد های باور نکردنی در سایر علوم مثل هوافضا داره.

بحث های که مطرح خواهم کرد اکثراً از کتابهای روتمن ، مسی ، بورباکی ، الینبرگ و.... خواهد بود که هیچ کدوم ترجمه نشدن! و البته گریزی هم به مطالب انگلیسی نت خواهم داشت.

چون این اولین تاپیکیه که خودم کار تایپ اون رو انجام میدم و اولین منبع روی نت خواهد بود به سبک سایر کاربران عرض میکنم که:

کلیه حقوق این مطلب در جهان متعلق به سایت http://www.centralclubs.com است.

والبته بنده حقیر misam5526.

[misam5526]

توپولوژی جبری چیست؟

فرض کنید فضای توپلوژیک x را داریم . هدف اینست که به x یک گروه به نام گروه بنیادی نسبت دهیم به گونه ای که هرگاه دوفضای تولوژیک X,Y همئومورف باشند گروهای وابسته آن دو نیز ایزومورف باشند.
همچنین با مطالعه ویژگی های جبری این گروه بتوانیم به خواص توپولوژیکی X پی ببریم.
توپولوژی جبری در حقیقت بکار بردن روشهای جبری برای دریافت اطلاعات توپولوژیک است. این مطلب امکان اثبات اینکه دو فضا همئومرف نیستند را با اثبات یکریخت نبودن گروههای بنیادی آنها به ما نشان می دهد.
با استفاده از گروه های بنیادی مسائل توپولوژیکی در اغلب فضاها و نگاشتهای پیوسته ، می توانند به مسائل صرفاً جبری در مورد گروهها و همریختی آنها کاهش یابند.

پس اگر تابع پیوسته ای از یک فضای X به فضای Y داشته باشیم ، آنگاه این تابع یک ایزومورفیسم از گروه بنیادی X به گروه بنیادی Y القا خواهد کرد و بسیاری از خواص تابع پیوسته اولیه، در این ایزومورفیسم نمایانگر خواهد بود.
بنابراین ما میتوانیم با مطالعه این ایزومورفیسم اطلاعاتی در باره آن تابع پیوسته بدست آوریم.

خلاصه مطلب اینه که ما در توپولوژی جبری از ابزارهای جبر برای مطالعه توپولوژی استفاده میکنیم.



کلیه حقوق این مطلب در جهان متعلق به سایت http://www.centralclubs.com است.

والبته بنده حقیر misam5526.

[misam5526]

تعریف سادک n بعدی:

با تعریف میبینیم که Δ[SUP]0 [/SUP]یک نقطه و Δ[SUP]1 [/SUP]یک بازه بسته و Δ[SUP]2 [/SUP]یک مثلث(با ناحیه درونی ) می باشد.

تعریف گوی n بعدی:
[External Link Removed for Guests]

با این تعریف مشاهده می شود که
[External Link Removed for Guests]

تعریف تصویر جسم نما:
فرض کنیم N قطب شمال کره S[SUP]n[/SUP] باشد یک نگاشت تو پولوژیک بین{S[SUP]n[/SUP]-{N و R[SUP]n[/SUP] وجود دارد که آنرا تصویر جسم نما گویند برای شناخت این نگاشت فرض کنید x متعلق است به {S[SUP]n[/SUP]-{N آنگاه نگاشت R[SUP]n[/SUP]ا →{σ: S[SUP]n[/SUP]-{N را اینگونه تعریف می کنیم:

(σ(x عبارت است از اشتراک قطعه خط واصل Nو ط با R[SUP]n[/SUP] هر نقطه بر این خط دارای معادله ای به صورت tx[SUB]0[/SUB]+(1-t)N خواهد بود .

به راحتی تحقیق میشود که σ خوش تعریف پیوسته و یکی به یک است بنابر این دارای معکوس است و معکوس آن نیز پیوسته است.


بنابر این σ یک نگاشت توپولوژیک است.



کلیه حقوق این مطلب در جهان متعلق به سایت http://www.centralclubs.com است.

والبته بنده حقیر misam5526.