پارادکس راسل

[misam5526]

پارادکس راسل از مهم‌ترین پارادکس‌های نظریه مجموعه‌ها است که توسط ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی برتراند راسل در سال 1901 معرفی شد.
این پارادکس نشان می‌دهد که نظریه طبیعی مجموعه‌های فرگه که برپایه کارهای جرج کانتور، بنیان گذار نظریه مجموعه‌ها، بود دارای نتاقضاتی در درون خودش است.



در نظریه طبیعی مجموعه‌ها دو اصل موضوع عمده وجود دارد که عبارت‌اند از اصل موضوع گسترش و اصل موضوع شهودی تجرید.

اصل شهودی تجرید بیان می‌کند، اگر φ(x) یک گزاره نما در مورد متغیر آزاد x باشد آنگاه:
{x:φ(x)}

یک مجموعه‌است. به بیان دیگر متناظر با هر گزاره نما(خاصیت) چون φ(x) مجموعه‌ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در φ(x) صدق می‌کنند. به این ترتیب این اصل به ما اجازه می‌دهد به‌وسیله هر ویژگی دلخواه یک مجموعه را تشکیل دهیم.

برتراند راسل به‌وسیله پارادکس راسل نشان داد که در نظر گرفتن این اصل در نظریه طبیعی مجموعه‌ها موجب تناقض می‌شود، و لذا نظریه طبیعی مجموعه‌های جرج کانتور نظریه‌ای ناسازگار است و نیاز به بازنگری دارد.

راسل، این فرض که مجموعه‌ها می‌توانند به صورت آزاد و بدون هیچ قید و بند و معیاری و تعریف شوند را به‌وسیله ارائه مجموعه همه مجموعه‌هایی که عضو خود نمی‌باشند باطل اعلام کرد. این مجموعه توسط برتراند راسل معرفی شد و تناقضی که از آن حاصل می‌شود پارادکس راسل است.

پارادکس راسل اولین عامل برای برانگیختن تلاش ریاضیدانان در جهت اصل موضوعی کردن نظریه مجموعه‌ها بود.

آنها سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را بر پایه اصولی قوی تر و پیچیده تر از اصل موضوع گسترش استوار کنند تا از تعریف چنین مجموعه‌هایی جلوگیری شود. این پارادکس، راسل را برای گسترش هرچه بیشتر نظریه گونه و ارنست تسرملو را برای گسترش نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها سوق داد و موجب پیدایش نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل و سایر دستگاههای اصل موضوعی مجموعه‌ها گردید.

این پارادکس همچنین نشان می‌دهد که مجموعه همه مجموعه نیز که تا آن زمان وجود آن مسلم فرض می‌شد، وجود ندارد.

تاریـخچه

اینکه که راسل چه موقع این پارادکس را کشف کرد دقیقاً مشخص نیست، ولی به‌نظر می‌رسد که در ماه می‌یا ژوئن سال 1901 و احتمالاً به عنوان نتیجه‌ای از کارش بروی قضیه کانتور(عدد اصلی هر مجموعه از عدد اصلی مجموعه توانی آن کمتر است) به این پارادکس پی برده‌است.

او ابتدا پارادکس را در سال 1901 به صورت مقاله‌ای در ماهنامه اینترناشنال با عنوان «جدید ترین کار در فلسفه ریاضیات» مطرح کرد.

او همچنین برهان کانتور در مورد اینکه بزرگ‌ترین عدد اصلی وجود ندارد مطرح ساخت و اضافه کرد که «استاد» در مورد یک مغالطه زیرکانه مقصر است که او بعداً در این باره توضیح می‌دهد.

راسل همچنین پارادکس را در کتاب خود با عنوان اصول ریاضیات (Principles of Mathematics)-که نباید با کتاب قبلی او Principia Mathematica اشتباه شود- ذکر کرد که آن را «تناقض» نامید. دوباره او بیان کرد که این پارادکس را با تجزیه و تحلیل برهان کانتور برای اثبات عدم وجود بزرگ‌ترین عدد اصلی بدست آورده‌است.

راسل در سال 1902 این پارادکس را با فرگه که در حال نوشتن جلد دوم کتاب خود با عنوان Grundgesetze der Arithmetik بود در میان گذاشت.

فرگه با عجله در ضمیمه‌ای راه حلی برای رفع این پارادکس نوشت که بعدها ناکافی بودن آن به اثبات رسید. به هر حال، بعد از چاپ جلد دوم کتاب، فرگه بعد از انتشار دومین بخش کتاب خود، کمی در مورد منطق ریاضی و فلسفه ریاضیات نوشت.

ارنست تسرملو در هنگام کار بروی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها که در سال 1908 آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پی برد ولی گمان کرد نکته کوچکی است و لذا هیچگاه آن را منتشر نساخت. تسرملو در دستگاه اصل موضوعی خود، از این پارادکس با بهره گیری از اصل موضوعی با عنوان اصل موضوع تصریح جلوگیری کرد.

راسل و الفرد نورث وایتهد سه جلد از کتاب اصول ریاضیات را به امید پیروزی در حالی که فرگه شکست خوردی بود نوشتند و در آن سعی کردند با استفاده از نظریه گونه، از چنین پارادکس‌هایی در نظریه طبیعی مجموعه‌ها اجتناب کنند.

هنگامی که آنها موفق به پایه ریزی حساب شدند، به نظر نمی‌رسید که فقط از منطق استفاده کرده باشند. به هر حال کورت گودل، در بین سالهای 1930 تا 1931 ثابت کرد که منطق بسیاری از بخش‌های PM که اکنون به عنوان منطق مقدماتی خوانده می‌شود کامل است ولی حساب پئانو در صورتی که سازگار باشد لزوماً ناکامل است. بنابراین از این به بعد برنامه‌های منطقی فرگه و PM مردند.

نـمونه‌های کاربردی

مواردی ساده تر از پارادکس راسل نیز وجود دارد که بیشتر با واقعتها در زندگی نزدیک است و برای غیر منطقیون قابل فهم تر است. به عنوان مثال پارادکس آرایشگر نمونه‌ای از آن است.

آرایشگری را فرض کنید که فقط ریش مردانی را می‌تراشد که خودشان ریش خود را نمی‌تراشند.

به بیان منطقیتر ریش مردان را می‌تراشد اگر و فقط اگر آنها ریش خود را نتراشند.

حال با مطرح کردن این سوال که آیا خود آرایشگر ریش خود را می‌تراشد یا نه؟ پارادکس آغاز می‌شود(چگونه؟).

اما هنگامی که این بیانات غیر رسمی و عامیانه ار پارادکس را ارائه می‌دهیم اشکالی هم بوجود می‌آید. به عنوان نمونه در جواب پارادکس آرایشگر آسان است که بگوییم چنین آرایشگری وجود نخواهد داشت. تمامی نکته پارادکس راسل در این است که پاسخ «چنین مجموعه‌ای وجود ندارد» به معنی این است که تعریف مجموعه به کمک نماد مجموعه ساز بدون هیچ مرز و معیاری ناکافی است و رضایت بخش نیست. البته برخی نمونه‌ها از این پارادکس این اشکال را ندارد. از این نمونه می‌توان به پارادکس گریلینگ-نلسون(Grelling-Nelson) اشاره کرد که در آن کلمات و معنای آنها در صحنه بجای افراد و آرایشگر وجود دارند.

این آسان است که پارادکس آرایشگر را با رد وجود چنین آرایشگری رفع کنیم ولی گفتن چنین چیز مشابهی در مورد لغات و معناها ممکن نیست.