رسم پذیر بودن یک عدد

[misam5526]

عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.* از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.
رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و … چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل “رادیکال ۲”. آیا این عدد رسم پذیر است؟
از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.
در این محور:
۱. (a,۰) یا (۰,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.
۲. (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.
هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و… یک شکل رسم پذیر گوییم.
++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.
حال می توانیم به راحتی بگوییم که “رادیکال۲” رسم پذیر است. چون اگر (۰.۱) و (۰و۱) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول “رادیکال۲″ داریم.
حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.
همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:
۱.اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.
۲.اگر a رسم پذیر باشد آنگاه “رادیکال a” نیز رسم پذیر است.
۳.موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند):
الف) x رسم پذیر است.
ب) (Cos(x رسم پذیر است.
ج) (Sin(x رسم پذیر است.
۴.همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست.
چند حکم در مورد رسم پذیری اعداد با استفاده از میدان های شکافنده:
۱.مجموعه همه عددهای رسم پذیر زیرمیدانی از میدان اعداد حقیقی ® است.
۲.اگر a عددی رسم پذیر باشد آنگاه a در توسیعی از Q قرار دارد که درجه آن توسیع روی Q توانی از ۲ است.
۳.(نتیجه ۲ و پر کاربرد تر از آن): اگر a در یک چندجمله ای تحویل ناپذیر روی Q صدق کند که درجه آن توانی از ۲ نباشد آنگاه a رسم پذیر نیست.
۴.اگر a ریشه n-ام اولیه واحد باشد آنگاه n ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر درجه (Q(a روی Q توانی از ۲ باشد.
۵.اگر P عددی اول باشد آنگاه P ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر P عدد اول فرما باشد.
چند مساله تاریخی زیر هم که شاید از زمان اقلیدس وجود داشته و با استفاده از بحث رسم پذیری حل شدند در زیر می بیند:
۱.آیا می توان به کمک خط کش و پرگار هر زاویه را به سه قسمت تقسیم کرد؟ (تثلیث زاویه)
۲.آیا می توان مربعی هم مساحت با یک دایره دلخواه رسم کرد؟ (تربیع دایره)
۳.آیا می توان برای هر مکعب دلخواه مکعبی رسم کرد که حجم آن دو برابر مکعب مفروض باشد؟ (تضعیف مکعب) تضعیف یعنی مضاعف کردن. یعنی دو برابر کردن.
ثابت شده است که هیچ یک از این احکام در حالت کلی درست نیستند. مثلا “تثلیث زاویه ۶۰ درجه” و “تربیع دایره ای به شعاع یک” و “تضعیف مکعبی به ابعاد یک” ممکن نیست.